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파이의 신비 목록

조회 : 12319 | 2011-03-07

트랙



위의 그림과 같은 트랙 위를 한 바퀴 돌 때 ㉠보다는 ㉡이 더 길이가 짧아 유리하다고 하죠. 그래서 실제 경기에서는 ㉠라인에 있는 사람이 ㉡보다 앞에서 출발해요. 그렇다면 얼마나 더 앞에서 출발해야 할까요? 그리고 운동장이 커지면 또 얼마나 앞에서 출발해야 할까요? 이 문제의 해답을 찾기 위해서는 원주율(π)을 알아야 해요.




원주율이란
파이(π)는 원의 둘레를 원의 지름의 나눈 비율, 즉 원주율(number π)을 나타내는 것이에요. 수학에서 사용 빈도로 보면 어디에도 뒤지지 않는 중요한 수이지요. 참고로 파이는 ‘수’라는 사실을 명심해야 해요.
ㄴ


원주율 구하기 - 다각형을 이용하기
원주율에 대해서는 아주 오래 전부터 기록되어 있어요. 고대 바빌로니아 사람들은 원주율을 간단히 3으로 계산하였는데, 원의 둘레가 원의 지름보다 3배 정도 길다고 생각했어요. 구약성경에서도 솔로몬이 궁전을 지으면서 사용한 원주율 값이 3이라고 나와 있죠. 원주율에 대한 연구로 유명한 수학자는 아르키메데스(BC 약 240년)로 약 3.14라는 오늘날의 원주율값을 알고 있었다고 해요. 아르키메데스의 원주율 구하는 방법은 π값을 원하는 만큼 정확하게 구할 수 있는 개념을 정리한 사람이었죠. 그가 구한 방법은 원에 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 원둘레가 길고, 원에 내접한 정다각형의 닮은 도형 중에서 원에 외접하는 정다각형의 둘레 길이보다는 짧다는 생각을 한거죠. 아래 그림을 보면 원 바깥에 있는 정육각형의 둘레보다는 원 둘레가 작겠죠. 하지만 원 안쪽에 있는 정육각형의 둘레 길이보다는 원둘레가 길겠죠.






ㄹ



이런 방법으로 구한 파이(π)값은 아래와 같은 식을 얻은 것이지요.






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위의 분수를 소수로 고치면 3.14084…<π<3.142857…임을 알 수 있어요.




원주율 구하기 - 확률을 이용하기
원주율을 구하는 방법이 도형을 이용해서도 구해지지만 재미있는 것은 확률을 이용해서 구해질 수 있다는 것이지요. 몬테카를로 방법으로 아래 그림처럼 정사각형과 내접원이 그려진 종이 위에 종이 눈송이를 골고루 충분히 뿌려지도록 적당히 높은 곳에서 뿌리는 거예요.






ㄴ



그럼 옆의 그림처럼 종이 눈송이가 정사각형에 올라가 있고 원 안에도 있겠지요. 종이 눈송이를 많이 떨어뜨릴수록 의 값이 정확하게 구해져요. 만약 원 위에 떨어진 종이 눈송이가 79장, 정사각형 위에 떨어진 종이 눈송이가 100장이라면 의 값은 다음과 같지요.
ㄴ




ㅁ



이 식이 바로 원주율을 구하는 방법이에요.





몬테카를로법 외에도 확률을 구하는 방법으로는 뷔퐁이라는 바늘을 일정한 간격으로 벌어진 평행선이 그려진 곳에 던져 평행선과 바늘이 교차할 확률을 이용한 방법도 있어요.





ㅁㄱ
ㄴ



(여기서 L : 바늘의 길이, d: 평행선 사이의 거리, P:바늘과 평행선이 교차할 확률) 위의 식에서 P를 구하는 방법은 고등학교에 올라가서 배우기 때문에 이 식에 대한 설명은 여기까지 할께요. 여기서도 우리가 알 수 있는 것은 확률이라는 방법을 통해서도 원주율을 구하려고 했다는 새로운 생각을 주목해야겠죠.




지구 한 바퀴 돌기
지구를 한 바퀴 도는 데에는 거리가 얼마일까요? 지구를 원으로 보았을 때, 지구의 둘레를 알려면 지구의 반지름을 알아야 해요. 지구의 반지름을 약 6400km라고 해요. 그렇다면 지구를 한 바퀴 도는 데에는 몇 km일까요. 앞에서 원주율=원의둘레/원의지름이라는 것을 배웠으니까, 지구의 둘레는 (지구의 지름)×(원주율)이면 되겠지요. (12800)×(3.14)=40192km만 가면 지구를 한 바퀴 돌 수 있네요. 그렇다면 땅에서 1km(1000m) 상공에서 지구를 돈다면 어떻게 될까요? 그렇다면 40192km보다 엄청나게 큰 거리가 나올까요? 그렇다면 땅에서 1km(1000m) 상공에서 지구를 돈다면 어떻게 될까요? 그렇다면 40192km보다 엄청나게 큰 거리가 나올까요? 참고로 1km위에서 가는 것이니까 지구의 반지름을 6401km로 생각하면 되요. 그러니까 (12802)×(3.14)=40198.28km가 나오죠. 즉, 땅에서 가는 것에서 6.28km만 더 가면 되는 것이지요.





맨 처음에 했던 트랙문제로 돌아와서 직선부분은 같으니까, 곡선부분만 생각하면 ㉡의 바깥선이 트랙의 곡선부분의 중심에서 10m 떨어졌다면 곡선을 도는 구간은 20(m)×(3.14)=62.8m이고 ㉠의 바깥선이 ㉡보다 1m 더 밖에 있다면 22(m)×(3.14)=69.08m가 되요 즉, 6.28m가 나와요. 이것은 곡선의 반지름이 더 커져도 같다는 것이지요. 심지어는 지구만큼 커져도 6.28m는 같게 되는 것이지요. 그래서 결론은 6.28m만 앞에서 출발하면 수학적으로는 동일한 조건이 되는 것이에요. 실제 육상경기에서는 트랙의 여러 가지를 고려해서 7.22m 정도 앞에서 출발한다고 해요.




파이 데이
파이의 날은 원주율의 근사값 3.14를 기준으로 해 일반적으로 3월 14일로 정해지는데, 소수점 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념식을 해요. 여러분도 파이의 날에 한번 쯤은 위에서 언급한 파이에 대해 생각해 보는 것은 어떨까요?




*오늘의 중요 용어정리*
[원의 둘레의 길이] 원의 둘레의 길이를 구하는 방법은 (원의 지름)×π이에요.




*더 찾아보아요.*
- 파이 이야기 얀 마텔 지음, 공경희 옮김, 작가정신.




*한걸음 더!*
☆ 지구의 표면에서 800km상공에서 지구를 도는 인공위성이 지구를 한 바퀴 도는데 지표면에서 도는 것보다 얼마나 더 많이 돌아야하는지 구하세요. ☆ 집에서 몬테카를로 방법을 이용해서 파이를 구해보세요.




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