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음악 속에 흐르는 수학 목록

조회 : 6154 | 2010-12-28

소리를 듣고 있나요? 음악를 듣고 있나요?
우리가 음악을 듣는다고 하지만, 정확하게 말하면 소리를 듣는 것이지요. 소리를 우리가 드는 과정은 어떤 일정한 떨림이 공기를 통하여 우리의 고막을 진동하면서 느끼는 것이예요. 이 떨리는 정도에 따라 소리가 높고 낮다는 것이 정해지는데, 이 떨리는 정도를 측정하는 것이 1초마다 떨리는 횟수로 진동수하고 하지요. 이 진동수의 단위는 ‘Hz(헤르츠)'라고 하지요. 즉, 10Hz는 1초에 10번 떨리는 것이지요. 그런데, 우리 사람이 들을 수 있는 진동수의 폭이 정해져 있어요. 어려운 말로 ’가청 주파수‘라고 하지요. 20Hz에서 약 20,000Hz 까지 들을 수 있다고 해요.




음악을 이해하는 데에도 수학이 필요하다?- 피타고라스 음계
그렇다면 어떤 것을 음악에는 어떤 진동수가 있을까요? 일단, 피아노 건반에서 ‘라’를 치면 진동수가 440Hz가 되요. 그렇다면 한 옥타브 높은 ‘라’를 치면 진동수는 2배가 높아져 880Hz가 되고 더 높은 ‘라’를 치면 1760Hz가 돼요. 반면에 낮은 ‘라’는 220Hz가 되지요. 여기서 한 옥타브 차이의 음들 사이에는 진동수의 비가 1: 2라는 것을 알 수 있지요. 그렇다면 다른 음들 사이에는 진동수 비가 있을까요? 음악에 대해 수학적으로 해석해서 수학에서 사용하는 ‘비’로 나타낸 대표적인 사람이 그리스의 수학자 피타고라스이예요. ‘수는 만물을 지배한다’고 주장했던 피타고라스는 음정이 ‘수’의 지배를 받는다는 사실을 발견해서 우리가 사용하고 있는 ‘도레미파솔라시도’라는 음계를 수학적으로 분석하여 여러 악기를 만들 수 있는 기반을 마련한 사람이지요. 전설에 의하면 피타고라스는 대장간에서 흘러나오는 4명의 대장장이의 높은 음과 낮은 음의 망치소리를 듣고 어떻게 다른 소리가 나는 지를 알아보기 위해 망치의 무게를 측정한 결과 12, 9, 8, 6파운드(무게의 단위)였고 이 무게의 비를 가지고 음을 만들었다고 해요. 피타고라스가 음계를 만들 당시에는 진동수의 개념이 없었을 것이니까 현의 길이 비를 이용해서 음계를 만들었을 거예요. 피타고라스는 어떤 줄을 팽팽히 연결하여 튕겼을 때 나는 음이 ‘도’라면 그 줄의 당기는 힘을 유지한 채 길이를 ‘가’처럼 반으로 줄이면 ‘높은 도’가 된다는 것을 알았어요. 즉, 8도가 차이가 나는 것을 발견하였지요. 그림 ‘다’에서처럼 3:2로 줄이면 긴 쪽이 원래 ‘가’보다 5도가 높아지는 것이지요. 그리고 그림 ‘다’에서 다시 4:3으로 줄이면 4도가 올라가면 그림 ‘나’처럼 되는 것을 발견하였죠. 이런 피타고라스의 음계를 순정율이라고 하지요. 이것을 수학적으로 정리하면 두 음의 진동수가 2:3이면 두 음은 5도 차이가 나요. 예를 들어 ‘도’음의 진동수와 5도 차이가 나는 ‘솔’음의 진동수는 2:3이므로 ‘도’음에 3/2를 곱하면 ‘솔’음이 나는 것이지요. 또, ‘솔’에서 높은 ‘도’까지는 5도차이 나는 것이 아니라 4도차이가 나는데 이때, 진동수의 비가 3:4가 되요. 즉, ‘솔’의 진동수에 4/3을 곱하면 높은 ‘도’가 나오는데, 결과적으로 낮은 도의 진동수에 2배를 하면 높은 도가 나오게 돼요. - 낮은 도의 진동수 : □ - 솔의 진동수 : □×3/2 - 높은 도의 진동수 : □×3/2×4/3=□×2






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그렇다면 다른 음은 어떻게 만들었을까요? 먼저, 낮은 도를 1로 하고 높은 도를 2로 한다면 솔 : 도보다 4도 높으므로 1×3/2=3/2 파 : 도보다 3도 높으므로 1×4/3=4/3 레 : 솔보다 3도 낮으므로 3/2×3/4= 9/8 라 : 레보다 4도 높으므로 9/8×3/2=27/16 미 : 라보다 3도 낮으므로 27/16×3/4=81/64 시 : 미보다 4도 높으므로 81/64×3/2=243/128 등이 된다. 이런 방법은 오늘날까지 목관악기나 현악기를 만드는데 기본적인 원리가 되고 있어요.




음악을 이해하는 데에도 수학이 필요하다?- 평균율
피타고라스 음계인 순정율은 문제를 가지고 있는데, 이웃하는 음, 즉 2도사이가 일정하지 않다는 것이다. 즉, 도레, 레미,… 등이 일정하지 않지 않기 때문에 이를 보완하는 것이 평균율이라 것이 나왔어요. 평균율은 낮은 도에서 높은 도까지 반음씩 세 보면 도, 도#, 레, 레#, 미, 파, 파#, 솔, 솔#, 라, 라#, 시, 도까지 모두 12개의 간격이 나오는 데 이 간격을 일정한 규칙에 따라 진동수를 배열한 것으로 건반악기를 만드는 기본적인 원리가 되었지요. 도(1), 도#(1×□), 레(1×□×□), 레#(1×□×□×□), 미(1×□×□×□×□), … 도(1×□×□×□×□×□×□×□×□×□×□×□×□=2) 위에서 보면 낮은 도를 1로 보았을 때, 같은 비율로 계속해서 올라가면 높은 도는 □를 12번 곱해서 나온 값이 2가 되는 것이예요. 그런 값을 구해보면 약 1.0595가 나와요. 즉, 1.0595를 12번 곱하면 거의 2가 되지요. 그렇게 구해서 주파수에 대입을 하면






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위와 같은 주파수가 나옵니다.




음악에도 이런 복잡한 수학 계산이 있었다니
여러분들이 이번 시간에 느낀 것은 위에 제목처럼 음악에도 이런 복잡한 수학 계산이 있었다는 것일 거예요. 수학과 음악의 공통점은 패턴이 있다는 것이지요. 그런 면에서 수학과 음악은 통한다고 볼 수 있어요. 수학자 중에서 음악을 잘하는 분들이 많이 있어요. 또한 음악을 하는 사람들 중에서도 수학을 잘하시는 분들도 많고요. ‘수학 너는 도대체 안 끼는 데가 없니’라고 생각이 절로 들죠.




*오늘의 중요 용어정리*
[분수의 곱셈] 분수의 곱셈은 분자는 분자끼리 곱하고 분모는 분모끼리 곱하면 되요 예로 2/5 ×3/ 7=2×3/5×7=6/35




*더 찾아보아요*
☆ 책으로 찾아보아요.- 수학, 문명을 지배하다. 모리스 클라인 지음, 박영훈 옮김




*한걸음 더!*
☆ 피타고라스 음계에서 낮은 도를 1로 보았을 때 파는 얼마로 보아야 하나요. ☆ 피타고라스 음계에서 시와 도의 비율은 얼마인지 구하세요.




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