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물체의 낙하와 수학 목록

조회 : 8685 | 2010-11-16

물체는 떨어진다?
우리는 주변에 일어나는 너무나 평범한 것에 대해서 의문을 가지기 보다는 그냥 그런 거지 하고 넘어가는 경우가 많지요. 사실 선생님도 생활하다보면 주변의 것에 대해서 생각하지 않고 지날 때가 많아요. 그런 우리와는 다르게 세상을 본 사람이 있지요. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)이라고 세상의 모든 사람이 물체를 던지면 떨어지는 데, 왜 떨어질까를 생각한 인물이지요. 그러면서 물체가 떨어지는 것이 아니라 서로 잡아당기는 데, 질량이 더 무거운 것이 가벼운 것을 끌어당긴다는 만유인력을 생각했지요. 예로 큰 지구와 작은 사과를 비교하여 보면 우리는 사과가 떨어져 보이지만 사과는 질량이 큰 지구쪽으로 끌려간 것이지요. 만일, 지구 밖에서 남극에 있는 우리를 보고 있을 수 있다고 생각해 보세요. 사과는 아래로 떨어져 지구 밖으로 나간 것이 아니라 지구의 중심쪽으로 올라 간 것으로 보이죠. 그러 면에서 뉴턴의 발견은 획기적이라고 볼 수 있죠. 여러분도 이런 획기적인 생각을 해봐요. 그런데 여러분은 뉴턴을 위대한 과학자로만 생각을 하는데 사실은 뉴턴은 세계 3대 수학자로 꼽히는 수학에서도 위대한 업적을 많이 남겼지요. 대표적인 것이 고등학교에서 배우는 미분과 적분이라는 것이에요. 이것은 너무 어렵기 때문에 고등학교에 가서 배우기로 하고 이번에는 뉴턴이 생각한 물체가 어떻게 떨어지는 지를 수학적으로 생각해 보기로 해요.




물체가 떨어지는 데 영향을 주는 것은?
뉴턴을 비롯한 많은 과학자들은 물체가 떨어지는 것에 대해 수학에서 사용하는 식을 이용해서 설명하려고 했어요. 그러면서 찾아낸 것이 물체가 지구 중심으로 떨어질 때, 물체에 같은 가속도가 붙는데 그것을 중력가속도라고 해요. 해발 고도에 따라 약간 차이가 나지만 약 9.8㎨이지요.










물체가 떨어지면서 어떤 것에 영향을 받을까요? 물체의 질량이 무거울수록 빨리 떨어질까요? 그 실험을 한 과학자가 갈릴레오 갈릴레이입니다. 이탈리아에 있는 피사의 사탑에서 무게가 다른 두 물체를 떨어뜨리면서 실험을 했지요. 그러면서 알게 된 것이 물체의 질량은 물체의 떨어지는 속도와 시간에는 영향을 주지 않는다는 것이예요. 그렇게 해서 알게 된 것이 (속도)=(중력가속도)×(시간)=9.8×(시간)이예요. 예로 5초 후에 속도는 49m/s로 초속 49m의 속도로 떨어지고 있게 되는 것이지요. 이것을 거리와 시간의 식으로 나타내면 (거리)=(중력가속도)×(시간)×(시간)÷2=4.9×(시간)×(시간) 예로 2초 후에는 4.9×2×2=19.6m를 지나고 있는 것이지요. 이렇게 세상에서 어쩌면 가장 기본적인 과학원리인 아래로 떨어지는 물체가 언제 얼마큼 갈지를 구하는 것도 수학적으로 나타낼 수 있다는 것이지요. 이렇게 세상의 이치를 찾는 과학 속에도 수학은 있지요. 그럼 계속해서 물체가 떨어지는 것에 대해서 알아볼까요.




떨어지는 물체에 맞으면 왜 아플까요?
떨어지는 물체에 맞으면 아프죠? 왜 아플까요. 그것은 힘이 작용했기 때문이지요. 그렇다면 떨어지는 물체는 어느 정도의 힘이 작용할까요? 떨어지는 물체의 속력과 이동거리에는 질량을 생각하지 않았지만 작용하는 힘에는 질량이 작용하겠지요. 무거운 것에 맞으면 더 아프니까요. 힘에 대해서 뉴턴이 나타낸 아주 유명한 것이 있지요. 힘=질량×가속도라는 것이고요. 물체의 낙하에서는 가속도는 중력가속도가 되겠지요. 그래서 10kg이 갖는 힘은 10×9.8=98N(뉴턴)이라고 해요. 그런 힘은 에너지를 가지고 있는데 그것을 어려운 말로 위치에너지라고 해요. 그것을 식으로 나타내면 위치에너지=질량×중력가속도×높이=질량×9.8×높이이지요. 예로 10kg이 10m 높이에 있으면 10×9.8×10=980 만큼의 에너지를 가지는 것이지요. 이렇게 물체를 하나 떨어뜨리는 간단한 것에도 수학이 많이 사용되고 있지요. 그래서 과학을 하려면 수학실력이 어느 정도 되어야 해요.




바로 아래가 아니라 옆에 떨어지려면?
지금까지는 물체를 떨어뜨리면 바로 아래 떨어지는 것에 대해서 알아보았지요. 그렇다면 바로 아래 지점이 아니라 바로 아래에서 옆으로 간 곳에 떨어지려면 어떻게 되는 지를 알아보아요. 여러분들 중에서 아래 사진을 보고 위에서 똑같은 위치에서 똑같이 공을 자연스럽게 놓는다면 몇 번이 가장 빨리 아래에 도착할지를 생각해 보세요.






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여러분들은 아마 가장 짧은 거리를 나타내는 1번을 선택하지 않았나요. 다른 학생들도 여러분이 생각한 것과 비슷하게 생각을 했을 거예요. 하지만 실제해 보면 3번이 가장 빠른 것을 알수가 있어요. 왜 그럴까요. 3번의 길을 사이클로이드라고 하는 길이예요. 거리상으로는 1번이 가장 짧지만 중력까지 생각하면 3번이 가장 먼저 내려오게 되지요. 여러분들 중에서 혹시 놀이공원에서 롤러코스터나 물놀이장에서 물미끄럼틀을 타본 적이 있다면 내려갈 때 1번길로 가는 것이 아니라 3번길로 가서 엄청 빠르게 느껴지는 것이예요. 참고로 4번은 반원을 잘라놓은 것이라. 처음 내려갈 때 수직으로 내려가지요.
ㅠ



이런 사이클로이드는 자연 속에서도 많이 발견되는 데 새들이 땅에 있는 먹이를 먹기위해 내려오는 길이나 물고기의 비늘, 옛날 우리 조상들이 집의 지붕을 덮기 위해 사용했던 기와 등의 곡선들이 사이클로이드 곡선이예요. 그러고 보면 과학, 수학이 우리 생활과 밀접하게 관련이 있지요.




세상의 간단한 원리 속에서도 수학이 있지요.
이번에는 세상에서 어쩌면 가장 간단한 원리인 물체가 떨어진다는 것에서도 수학이 있다는 것을 알아보았아요. 우리가 보고 있는 것을 과학적으로 설명할 때 수학으로 풀어서 설명한다면 더욱 확실하게 이해가 되겠지요. 이렇게 과학을 하려면 수학을 잘 하지 않을 수 없어요. 여러분 중에서도 과학에 관심이 있는 친구들이 많을 텐데 수학을 열심히 공부해야 해요.




*오늘의 중요 용어정리*
[ ㎨] 가속도를 나타내는 단위로 시간이 변하는 것에 따라 속도가 의 양이나 수도 증가하는 것을 말해요. 3개의 톱니가 있는 바퀴와 4개의 톱니가 있는 바퀴가 있다면 3개의 톱니가 있는 바퀴가 4바퀴 돌면 톱니는 모두 12개를 지나죠. 그 때 4개의 톱니가 있는 바퀴는 3바퀴를 돌아야 12개의 톱니를 지나게 되겠죠. 이렇게 한 쪽의 수가 증가할 때 다른 쪽의 수도 증가하는 것을 비례관계라고 해요.




*더 찾아보아요.*
☆ 책으로 찾아보아요. - 수학, 문명을 지비하다. 모리스 클라인 지음, 박영훈 옮김




*한걸음 더!*
☆ 5kg의 물체를 10m위에서 떨어뜨릴 때 얼마 후에 땅에 도달할까요? ☆ 사이클로이드는 직선 위에서 원을 굴려서 만들어졌는데, 큰 원 안에 작은 원을 넣어서 그리면 어떻게 될지 그려보세요.




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