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타원당구대에서 나는 당구의 신이 된다? 목록

조회 : 522 | 2020-09-08

타원은 하나의 초점에서 출발한 빛이 다른 하나의 초점으로 되돌아오는 성질이 있다. 이 성질을 계속 반복하게 되면, 빛은 타원의 두 초점에 갇혀버린다. (모두의수학 : 타원의 두 초점에 갇힌 빛 포스팅 참고)

 

타원

 

 

 

타원당구대

 

정말 그럴까? 라는 생각에 타원의 형태를 갖는 「타원당구대」를 만들어 실험해보기로 한다. 평면상에 장축의 길이가 160mm, 단축의 길이가 120mm인 타원의 방정식은 아래와 같은 형태를 갖는다.

 

수식1

 

타원2

 

중요한 것은 이렇게 작도된 타원의 두 초점을 정확하게 계산하여 그 위치를 잡아주어야 한다. 타원의 두 초점은 아래와 같이 계산된다.

 

수식2

 

이렇게 작도된 타원의 바닥을 면으로 채우고 옆면에 기둥을 세운 후, 초점의 위치를 표시하면 「타원당구대」가 완성된다. 이를 3D프린터로 출력해보았다.

 

3D

 

타원의 성질에 의하면, 타원의 두 초점 위에 구슬을 올려놓고 하나의 구슬을 정면으로 때리면 이 구슬은 벽면에 부딪힌 후, 반사되어 다른 초점에 놓여있는 구슬에 정확하게 부딪힌다.

 

타원당구대

 

동영상에서 보이는 바와 같이, 두 구슬이 정확하게 정면으로 충돌하면 이 구슬 또한 타원의 벽면에 부딪힌 후, 반사되어 또 다른 초점으로 향하게 된다. 실제 공기저항이나 바닥면의 마찰 등과 같은 방해요소들만 없다면 두 구슬은 끊임없이 타원의 두 초점을 계속하여 지나게 될 것이다. 결국, 「타원당구대」에서는 당구공이 두 초점에만 놓여있다면, 당구 초보자도 어렵지 않게 다른 공을 맞힐 수 있게 된다.

 

 

 

 

 

 

더 알아보기
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.


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