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몇 개의 정사각형을 그릴 수 있을까? 목록

조회 : 182 | 2019-10-08

정사각형 문제

 

[풀이]

 

주어진 문제를 풀기에 앞서 아래 그림에서 먼저 정사각형을 모두 찾아보자. 위의 그림과 비슷하지만, 좀 더 간단한 경우이다. 점 12개로 이뤄진 아래 그림에서 점 4개를 선택해 만들 수 있는 정사각형은 모두 몇 개일까?

 

 

사각형은 몇개_1

 

 

 

 

 

가장 쉽게 먼저 찾을 수 있는 사각형은 한 변의 길이가 1인 정사각형으로 아래 그림과 같이 5개를 찾을 수 있다.

사각형은 몇개_2

 

 

 

 

 

 

 

 

그다음으로 찾을 수 있는 정사각형은 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형이다. 아래 그림과 같이 모두 4개를 찾을 수 있다.

 

사각형은 몇개_3

 

 

 

 

 

 

 

이제 남은 정사각형은 쉽게 보이지 않는다. 두 점을 선으로 연결해 보면서 찾아야 한다. 세 번째로, 한 변의 길이가 각각 1, 2인 직사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형으로 아래 그림과 같이 2개를 찾을 수 있다.

 

사각형은 몇개_4

 

모든 정사각형을 찾았다. 더 큰 정사각형은 찾을 수 없으므로, 앞서 구한 모든 정사각형의 개수를 더하면 5+4+2=11개이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 주어진 문제를 풀어 보자. 빈 종이에 펜으로 20개의 점을 그린 후, 같은 방법으로 정사각형을 찾아보자. 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형이 9개, 한 변이 1인 정사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형이 4개인 것은 쉽게 찾을 수 있다. 그리고 가로와 세로가 1, 2인 직사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형은 2개이다.

 

사각형은 몇개_5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그다음으로 큰 정사각형을 찾아보면 다음과 같이 찾을 수 있다. 한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형은 4개이다.

사각형은 몇개_6

 

 

 

 

 

 

 

 

그리고 가로와 세로가 2, 3인 직사각형의 대각선을 하나의 변으로 하는 정사각형이 2개이다.

 

사각형은 몇개_7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

따라서 찾을 수 있는 모든 정사각형의 개수는 9+4+2+4+2=21개이다.

 

 

 

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