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[확률 문제] 야바위게임에서 나의 선택을 번복해야 하는가? 마는가? 목록

조회 : 489 | 2019-09-05

예전에 마술사가 연예인들과 ‘야바위게임’을 하는 TV 예능 프로그램을 본 적이 있다. 마술사가 능수능란하게 진행하여, 참가자들은 마술인 건지, 심리전인 건지 아리송하여, 마술사의 진행에 끌려갔다. 결국, 참여한 연예인들은 게임에서 연거푸 지기만 했다.

 

이 상황을 한번 따라가 보자.

 

야바위게임

 

진행자 : 3장의 카드가 있습니다. 이 중에서 1장의 카드에는 1억 원의 상금이 적혀져 있지요. 당신에게 한 번의 기회가 있습니다. 몇 번 카드를 고르시겠습니까? 
(현재 진행자는 몇 번이 당첨번호인지 알고 있다.)

 

참가자 : ①을 선택하겠습니다.

 

야바위게임_1

 

(분명 당첨번호는 ① 또는 ②ㆍ③중 하나이다. 따라서 ②ㆍ③중 하나는 반드시 꽝인 것이다. 진행자는 ②ㆍ③중 꽝인 번호 ②를 오픈하며, 참가자에게 다시 묻는다.

 

진행자 : 자, 지금부터는 확률이 50%로 바뀌었는데요. 당신에게 다시 한번 선택의 기회를 드리겠습니다. 처음 선택 ①을 유지하시겠습니까? 아니면, 선택을 ③으로 바꾸시겠습니까?

 

야바위게임_2

 

참가자: 음... 저는...

 

'…… 바꿔? …… 바꾸지 마? …… '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

당시 예능 프로그램에 참여한 많은 연예인들은 처음의 선택을 유지하였다. 처음에 3장의 카드에서 선택했을 때에 각 번호가 당첨될 확률은 어차피 동일하게 1/3이었고, 이후에도 남은 두 장의 카드 중의 하나이므로 그 확률 또한 동일하게 1/2일 것이라 생각이 들기 때문이다. 더하여, 그분들의 ‘굽히지 않는 소신(?)’과 같은 마음의 표현도 있었으리라 이해한다.

 

그렇다면, 여러분들은 어떠한 선택을 할 것인가?

처음의 선택을 유지할 것인가? 아니면 다른 선택으로 바꿀 것인가?

 

이 상황을 컴퓨터 가상실험으로 확인해보았다. 처음에는 ①ㆍ②ㆍ③중 하나를 임의로 선택하였고, 1개의 꽝이 오픈된 후에는 ‘처음의 선택을 유지’하는 방식으로 15번의 게임을 진행해 본 결과이다.

 

야바위게임_시뮬레이션

 

총 15번의 실험결과, ‘처음의 선택을 유지’한 경우 5번의 당첨이 있었으니 ‘처음의 선택을 변경’한 경우는 10번의 당첨이 가능했다는 이야기다. 이를 확률로 이야기하면, 각각 33.3%와 66.7%가 되며‘처음의 선택을 변경’하였을 때 1억 원에 당첨될 확률이 66.7%로 무려 2배 높다는 것을 알 수 있다.

 

왜 그럴까?


우선 카드 ①ㆍ②ㆍ③을 놓고 생각해보자. 처음 선택하였을 경우, 그것이 당첨될 확률은 1/3이고, 그 나머지 선택들이 당첨될 확률은 2/3이다.

 

야바위게임_3

 

다음, 진행자는 ②ㆍ③ 중에서 꽝인 번호 하나를 오픈하였다. 그것이 ③이라고 가정하면, ②ㆍ③ 중에서 남은 ②의 당첨확률은 2/3가 된다.

 

야바위게임4


따라서 참여자는 처음의 선택을 바꾸는 것이 유리하다. 당첨확률이 1/3에서 2/3로 두 배 증가하기 때문이다.

 

그래도 이해가 가지 않는다면?

 

이 게임의 추첨 제비(번호)를 많이 놓고 생각해보면 직관적으로 이해하기 쉽다. 예로, 50개의 추첨 제비가 있으며 참여자는 이 중에 한 개의 번호 ①을 골랐다고 해보자.

 

야바위게임_5

 

이후, 진행자는 나머지 추첨제비 2∼50 중에서 꽝인 제비 48개를 오픈하였다. 그리고 다시 참여자에게 묻는다. 처음의 선택을 유지하시겠습니까? 아니면 바꾸시겠습니까? ^^

(진행자는 절대로 당첨 제비는 오픈하지 않는다!!)

 

 

 

 

야바위게임_6

 

참여자의 직관에 혼선을 주는 이 게임은 확률의 조건부확률에 해당하는 ‘몬티문제’로 알려져 있으며 이 문제가 처음 소개되었을 때, 수학학회에서도 어떤 선택의 확률이 더 높은지에 대한 의견이 분분하였다고 한다.■

 

 

[더 알아보기]
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com/)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.

 

[바로 가기]

몬티홀문제Ⅰ : 수동으로 진행하는 가상실험

몬티홀문제Ⅱ : 자동으로 진행하는 가상실험

몬티홀문제Ⅲ : 당첨 제비를 50개까지 확장하여 진행하는 가상실험

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