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남아 있는 정육면체의 개수는 몇 개인가? 목록

조회 : 402 | 2019-07-08

한번쯤 어디선가 본 듯한 문제를 소개한다.


[문제]

크기가 같은 정육면체 64개가 16개씩 4층으로 쌓여져 있다.

정육면체1

하늘색으로 색칠된 부분을 모두 관통시킬 때, 남아 있는 정육면체는 몇 개인가?





대부분의 입체도형 문제가 그러하듯이, 눈으로만 풀어내기는 정말 쉽지 않다. 그래서 필요한 것이 문제해결 전략이다. 이 문제는 층별로 제거되는 것의 개수를 생각해보는 것이 좋다. 


먼저 1층의 단면을 살펴보면, 상하의 관통에 의하여 3개가 제거된다.

정육면체2



같은 방법으로 2층의 단면을 살펴보면, 정면·측면·상하의 관통에 의하여 8개가 제거된다.

정육면체3


같은 방법으로 3층의 단면을 살펴보면, 정면·측면·상하의 관통에 의하여 7개가 제거된다.

정육면체4


마지막으로 4층의 단면을 살펴보면, 상하의 관통에 의하여 3개가 제거된다.
정육면체5


따라서 남아 있는 정육면체의 개수 = 전체개수(64개) - 제거된 개수(3개+8개+7개+3개)

= 64개21개 = 43개다.

 


잘 이해가 되었는지, 다음의 연습문제를 풀어보도록 하자!!






[연습 문제]

크기가 같은 정육면체 64개가 16개씩 4층으로 쌓여져 있다.

정육면체6 하늘색으로 색칠된 부분을 모두 관통시킬 때, 남아 있는 정육면체는 몇 개인가?






각 층별 관통 부분(하늘색)을 살펴보면 아래와 같다.

정육면체7 


따라서 남아 있는 정육면체의 개수 = 전체개수(64개) - 제거된 개수(2개+7개+8개+2개)

= 64개19개 = 45개다.









마지막으로, 좀 더 복잡한 문제를 제시해본다. 하지만 문제해결의 아이디어를 이해하였다면 이 역시 쉽게 풀릴 수 있을 것이다. 


크기가 같은 정육면체 125개가 25개씩 5층으로 쌓여져 있다.

정육면체8

하늘색으로 색칠된 부분을 모두 관통시킬 때, 남아 있는 정육면체는 몇 개인가?




각 층별 관통 부분(하늘색)을 살펴보면 아래와 같다.

  
정육면체체9

 

따라서 남아 있는 정육면체의 개수 = 전체개수(125) - 제거된 개수(4개+17개+14개+13개+4개)

= 125개52개 = 73개다.■



[더 알아보기]
 이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동할 수 있습니다.

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