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4개 평면으로 공간을 최대한 몇 개까지 나눌 수 있을까? 목록

조회 : 622 | 2019-07-02


우리들은 3차원 공간 속에서 살아가는 존재로 1차원 직선, 2차원 평면은 그 대상을 모두 내 시야에 놓고 관찰할 수 있으나 3차원 공간만 하여도 관찰자 시점에서 모든 것(앞면 · 뒷면 · 내부 · 외부)을 다 바라볼 수 없다. 그래서 복잡한 3차원 공간도형의 관찰을 흔히 ‘장님 코끼리 만지기’와 같이 비유하곤 한다. 다음 문제로 여러분들의 공간사고능력을 테스트해보자.


[문제]
4개의 평면으로 공간을 최대한 몇 개까지 나눌 수 있는가?


평면1

➀ 11개   ➁ 12개   ➂ 13개   ➃ 14개   ➄ 15개












어떠한가? 정답을 찾았는가? ^^
만약 정답을 찾아내었다면, 당신의 공간사고능력은 꽤나 훌륭한 편에 속한다!! (정답은 설명 후 공개!)




이제 단계별로 4개 평면의 최대분할영역에 대한 개수를 세어보자.
※ 입체적 공간에 대한 이해를 돕기 위하여 설명에서는 직육면체 안의 공간을 나누는 것으로 표현한다.


1단계 : 공간을 1개 평면으로 나눌 수 있는 영역의 최대 개수는 2개다.


평면2




2단계 : 공간을 2개 평면으로 나눌 수 있는 영역의 최대 개수는 4개다.

  만약, 여러분들이 3개로 잘못 세었다면 아래와 같은 형태를 생각했을 것이다.


평면3

이처럼 평면이 서로 평행하게 배치되면, 영역의 개수가 최대로 분할되지 않는다. 따라서 다음과 같이 서로 평행하지 않도록 배치해야 한다.

평면4





3단계 : 공간을 3개 평면으로 나눌 수 있는 영역의 최대 개수는?


⑴ 6개 (오답)

평면5


⑵ 7개 (오답)

평면6

위쪽에서 바라본 모습                                                          측면에서 바라본 모습



8개 (정답)

평면7

위쪽에서 바라본 모습                                                          아래쪽에서 바라본 모습





그렇다면, 분할된 공간이 최대 개수가 되도록 하려면 평면을 어떻게 배치해야 할까?

공간이 평면에 의해 최대영역으로 분할되려면, 다음과 같은 다소 복잡한 조건들을 만족해야야한다.

 

평면8

1) 그 어떤 두 평도 평행하면 안 된다. 

하나의 평면상에 만들어진 교선들에 대하여,

2) 그 어떤 두 교선도 평행(또는 일치)하면 안 된다.

3) 그 어떤 세 교선도 하나의 교점에서 만나면 안 된다.

 

(단, 여기서 교선은 평면이 서로 만나며 생기는 선분을 말한다.) 





4단계 : 공간을 4개 평면으로 나눌 수 있는 영역의 최대 개수는?

 

분할되는 영역의 개수가 최대가 되도록 배치하는 방법 중 하나는 정사면체의 네 면 위에 평면을 올려놓으면 된다. 정사면체의 네 면은 그 어떤 두 면도 서로 평행하지 않고, 하나의 평면상에서 그 어떤 두 교선도 평행하지 않으며, 그 어떤 세 교선도 하나의 교점에서 만나지 않기 때문이다.

 

평면9


이제, 분할된 영역을 세어보자. 전면에서 볼 수 없는 후면의 관찰을 위해 360도 회전을 하고, 0도 및 180도 회전 시점에서는 영역을 셀 수 있는 시간의 확보를 위해 잠시 멈추도록 만들어 놓았다.


평면10


이제, 하나씩 세어보자!!

위의 애니메이션에서 0도 및 180도에서의 스냅사진으로 영역을 세어본다.
효율적으로 세기 위해,
파랑색 평면을 기준으로 위쪽아래쪽으로 나누어 세었다.

평면11

평면12

파랑색 평면의 위쪽 부분에서 7개(①~⑦), 아래쪽 부분에서 7개(⑧~⑭), 총 14개다.
 
그러나 아직 한 개가 더 남아있다!!


바로 4개의 평면으로 만들어진 정사면체 내부의 닫힌 영역이 남은 1개 (⑮)다.

평면12

결국, 4개 평면으로 공간은 최대 15개 영역으로 분할된다!!

그렇다면, 5개 이상의 평면으로 공간을 최대한 몇 개까지 나눌 수 있는가? 라는 생각을 안 해볼 수 없다. 이제부터는 정말 복잡해진다. 5개의 평면으로 최대분할공간이 만들어지도록 평면을 배치하면 아래와 같은데... 과연 이것을 눈으로 직접 셀 수 있을까 싶다.

평면13

여기서부터는 수학의 역할이 더욱 절실히 필요하게 된다. 평면으로 공간을 최대 분할하는 이 문제는 케이크를 n번의 컷팅으로 최대한 많이 조각내는 ‘Cake Number’로 알려져 있으며, n개 평면에 대한 최대분할영역의 개수는 (n³+5n+6)÷6 과 같이 계산된다. 관심있는 독자들을 위하여 증명과정은 아래 바로가기로 별첨해 놓았다. 이 공식으로 계산해보면 5개 평면의 최대분할영역의 개수는 (5³+5×5+6)÷6 = 26개된다.


[더 알아보기]
이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.

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