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지구 종말에 대한 하노이 예언, 남은 시간은? 목록

조회 : 2081 | 2019-04-04

만약, 지구에 종말이 온다면 
남은 시간 동안 무엇을 할까?

다음은 지구 종말에 대한 ‘하노이 탑’의 예언이다. 

"고대인도 베나레스(현재 베트남의 하노이)의 한 사원에는 작은 구멍이 뚫린 64개의 순금 원판과 3개의 다이아몬드 기둥이 보관되어 있다고 한다. 이들 원판은 어느 것도 크기가 같지 않으며, 작은 원판이 큰 원판 위에 올라오도록 차례대로 1개의 기둥에 모두 쌓여 있다. 이 사원에서 유래되는 전설에 의하면, 수도승에게 64개의 원판을 하나씩 옮겨서 다른 기둥에 원래 상태로 부지런히 옮겨 놓으라고 명한다. (단, 원판의 이동시 작은 원판위에 큰 원판은 올려놓을 수 없다.) 그리고 모든 원판이 다른 기둥으로 모두 옮겨질 때, 사원과 승려 그리고 지구상의 모든 것들은 먼지가 되어 사라질 것이다."


위의 예언대로라면, 지구의 종말은 얼마나 남은 것일까? 

먼저 하노이의 탑을 규칙에 맞게 이동해보자. 
n개 원판의 최소이동횟수를 a(n)이라고 하면, 원판 1개에서 6개까지 최소 이동의 방법과 횟수는 아래와 같다.



이때, 최소이동횟수에 대한 계산 규칙은 다음과 같음을 예상할 수 있다. 


따라서 64개의 원판에 대한 최소이동횟수는 a(64)=264-1 이다.

1개의 원판을 이동하는데 1초가 걸린다고 가정하면,  
64개의 원판에 대한 최소이동횟수에 소요되는 시간은 a(64)=264-1 (초) 이다.
x
이 값은 얼마나 큰 수일까?


5,849억 년!!
하노이 탑의 지구 종말에 대한 예언은 5,849억 년 후에나 일어날 이야기인 것이다. 
참고로 지구의 나이는 약 46억 년, 우주의 나이는 120억 년임을 감안하면 5,849억 년이라는 시간의 느낌이 조금 더 실감이 날 수 있을까 싶다.

그런데, 만약...
‘하노이 탑’의 예언에서 기둥이 4개였다면, 
지구 종말까지 남은 시간은 얼마로 줄어들까?  


➀ 약 5시간    ➁ 약 50일       ➂ 약 5년 ➃ 약 50년     ➄ 약 5000년     ➅ 약 5억년

기둥이 4개인 하노이의 탑에서 n개 원판의 최소이동횟수를 b(n)이라고 하면, 원판 10개에 대한 최소 이동의 방법과 횟수는 아래와 같다. 




기둥이 3개인 하노이의 탑 vs 기둥이 4개인 하노이의 탑


기둥이 4개인 하노이의 탑에서 64개의 원판에 대한 최소이동횟수를 계산해보면 b(64)=18,433 이며, 

1개의 원판을 이동하는데 1초가 걸린다고 가정하면, 
64개의 원판에 대한 최소 이동 횟수에 소요되는 시간은...
 
b(64) = 18,433 (초) ≒ 5.12 (시간)

만약 지구 종말에 대한 ‘하노이 탑’ 예언에서의 기둥이 4개였다면, 우리는 불과 5시간 만에 종말을 맞게 되는 것이다. 



이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 작성해주신 파주여고 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있습니다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player을 설치하고 PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능합니다.   

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○ 기둥이 3개인 하노이의 탑 (실험해보기, 최소이동 알고리즘)
○ 기둥이 4개인 하노이의 탑 (실험해보기, 최소이동 알고리즘)
○ 기둥이 5개인 하노이의 탑 (실험해보기, 최소이동 알고리즘



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